深入理解堆排序的过程

来源:爱站网时间:2021-02-04编辑:网友分享
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堆排序过程
堆分为大根堆和小根堆,是完全二叉树。大根堆的要求是每个节点的值都不大于其父节点的值,即A[PARENT[i]] >= A[i]。在数组的非降序排序中,需要使用的就是大根堆,因为根据大根堆的要求可知,最大的值一定在堆顶。

既然是堆排序,自然需要先建立一个堆,而建堆的核心内容是调整堆,使二叉树满足堆的定义(每个节点的值都不大于其父节点的值)。调堆的过程应该从最后一个非叶子节点开始,假设有数组A = {1, 3, 4, 5, 7, 2, 6, 8, 0}。那么调堆的过程如下图,数组下标从0开始,A[3] = 5开始。分别与左孩子和右孩子比较大小,如果A[3]最大,则不用调整,否则和孩子中的值最大的一个交换位置,在图1中是A[7] > A[3] > A[8],所以A[3]与A[7]对换,从图1.1转到图1.2。

所以建堆的过程就是

 

for ( i = headLen/2; i >= 0; i++)

 

        do AdjustHeap(A, heapLen, i)


建堆完成之后,堆如图1.7是个大根堆。将A[0] = 8 与 A[heapLen-1]交换,然后heapLen减一,如图2.1,然后AdjustHeap(A, heapLen-1, 0),如图2.2。如此交换堆的第一个元
素和堆的最后一个元素,然后堆的大小heapLen减一,对堆的大小为heapLen的堆进行调堆,如此循环,直到heapLen == 1时停止,最后得出结果如图3。

 

 

 

 

 

/*
     输入:数组A,堆的长度hLen,以及需要调整的节点i
     功能:调堆
 */

 void AdjustHeap(int A[], int hLen, int i)
 {
     int left = LeftChild(i);  //节点i的左孩子
     int right = RightChild(i); //节点i的右孩子节点
     int largest = i;
     int temp;

     while(left      {
         if (left          {
             largest = left;
         }

         if (right          {
             largest = right;
         }

         if (i != largest)   //如果最大值不是父节点
         {
              temp = A[largest]; //交换父节点和和拥有最大值的子节点交换
              A[largest] = A[i];
              A[i] = temp;

             i = largest;         //新的父节点,以备迭代调堆
             left = LeftChild(i);  //新的子节点
             right = RightChild(i);
         }
         else
         {
             break;
         }
     }
 }

 /*
     输入:数组A,堆的大小hLen
     功能:建堆
 */
 void BuildHeap(int A[], int hLen)
 {
     int i;
     int begin = hLen/2 - 1;  //最后一个非叶子节点
     for (i = begin; i >= 0; i--)
     {
         AdjustHeap(A, hLen, i); 
     }
 }

 /*
     输入:数组A,待排序数组的大小aLen
     功能:堆排序
 */
 void HeapSort(int A[], int aLen)
 {
     int hLen = aLen;
     int temp;

     BuildHeap(A, hLen);      //建堆

     while (hLen > 1)
     {
         temp = A[hLen-1];    //交换堆的第一个元素和堆的最后一个元素
         A[hLen-1] = A[0];
         A[0] = temp;
         hLen--;        //堆的大小减一
         AdjustHeap(A, hLen, 0);  //调堆
     }
 }


性能分析
•调堆:上面已经分析了,调堆的运行时间为O(h)。
•建堆:每一层最多的节点个数为n1 = ceil(n/(2^(h+1))),

 

 

 

因此,建堆的运行时间是O(n)。
•循环调堆(代码67-74),因为需要调堆的是堆顶元素,所以运行时间是O(h) = O(floor(logn))。所以循环调堆的运行时间为O(nlogn)。
总运行时间T(n) = O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。对于堆排序的最好情况与最坏情况的运行时间,因为最坏与最好的输入都只是影响建堆的运行时间O(1)或者O(n),而在总体时间中占重要比例的是循环调堆的过程,即O(nlogn) + O(1) =O(nlogn) + O(n) = O(nlogn)。因此最好或者最坏情况下,堆排序的运行时间都是O(nlogn)。而且堆排序还是原地算法(in-place algorithm)。

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